卷二百六十五

钦定四库全书

《皇朝文献通考》卷二百六十五《象纬考》十

月食下

御制歴象考成》，上编论月食臣等。谨按考成上编论月食甚详，且绘图系说》，兹弗克具载，仅録其要焉。

定食限以距交度

太阴半径，与地影半径相切，即入食之限，故以两半径度相并之数，当黄、白两道之距纬度，而求其相当之经度，得距交一十一度一十六分四十五秒，为必食之限。距交一十二度一十六分五十五秒，为可食之限。盖必食者无不食，可食者或食或不食也。二者皆实望之限，若论平望，其限尤寛，得距交食一十四度五十四分，即为有食之限矣。定月食分秒，以并径求。

月食分数之浅深，视黄白距纬之多少距纬愈少，太阴心与地影心相去愈近则太阴入影愈深，故用太阴半径地影半径相并，而与距纬相较，并径大于距纬之较，即为月食之分。若并径小于距纬，则月不食。若太阴恰当交㸃而无距纬，则并径全为食分，为月食之最深也。但太阴与地影之半径分秒皆系弧度而论食分则以太阴全径直线计之。其法命太阴全径为十分，以太阴视径分秒与并径距纬之较之比，无距纬者，即以并径为比。同于太阴全径与食分之比也。

定五限时刻，以距纬半径自行求月食五限，一曰食甚，乃月入影最深之限也。一曰初亏月将入影，两周相切也。一曰食旣。月全入影，其光尽掩也。是二者在食甚前，一曰生光。月将出影，其光初吐也。一曰复圆，月全出影，两周方离也。是二者在食甚后，月食十分以上者有五限，十分以下者止三限，无食旣与生光也。其时刻之多寡，则由于入影之浅深，过影之迟速。盖距纬有寛狭，寛则入影浅而时刻，少狭则入影深而时刻多。又月与影之半径各有小大，月大影小则过影速而时刻少，月小影大则过影迟而时刻多抑，且自行有迟疾，迟则出影，迟疾则出影速。故虽距纬同半径同而自行不同，即时刻亦不同也。其食甚前后各限相距之时刻，恒等而食甚，又非实望之时所差虽微，而理则实异。夫地影之心即太阳正对之㸃地，影心距交之黄道经度与月心距交之白道经度等，是为东西同经，即为实望。然月心与影心斜距犹逺，惟从白极出弧线过影心至白道，与白道成直角月心临此直角之㸃，乃为食甚。盖惟此时月心与影心相距甚近，食分最深也。

定初亏、复圆方位四象限，以交角求旧定月食，初亏复圆方位距纬在黄道北，初亏东南，复圆西南在黄道南。初亏东北，复圆西北。食八分以上，则初亏正东复圆正西。此东西南北主黄道之经纬言，非谓地平经度之东西南北也。惟月实行之度在初宫六宫，初度望时又为子正，则黄道经纬之东西南北与地平经度合。否则黄道升降有斜正而加时距，午有逺近，故两经纬迥然各别。而所推之东西南北必不与地平之方位相符，不如实指其在月体之上下，左右为众目所共睹，乃为亲切也。其法从天顶作高弧，过月心至地平，即分月体为左右两半周，又平分为上、下两象限，即成左上左下、右上、右下四象限，而黄道在地平上之半周亦平，分为东西两象限，乃于初亏、复圆二限各求其黄道交高弧之角。若月当黄道无距纬，而交角满九十度，则初亏正左，复圆正右在黄道西象限，而交角在四十五度以上，初亏、左稍偏上，复圆右稍偏。下交角在四十五度以下，初亏上稍偏，左复圆下稍偏，右在黄道东象限者反是。若月在交前后有距纬，则又须求得纬差角。与高弧交角相加减为定交角，然后可定其上下左右也。加减之法，月距黄道北而在西，象限初亏为加，复圆为减。在东象限，初亏为减，复圆为加。月距黄道南者反是。乃视定交角为相加者，在九十度以内则亏复之，上下左右如前论。若过九十度为钝角，则易象限之上下。又或定交角为相减者，而交角内减去差角则亏复之。上下左右如前论。若差角内减去交角，则易象限之左右也。

定见食先后以子午线。

月食深浅分数，天下皆同，而亏复各限时刻不同者，非月入影有先后，乃人居地面，有东西也。盖日之所之为时，随人所居，各以见日出入为东西，日中为南，为子午而平分时刻。故其地同居一子午线者，虽南北悬殊北极出地高下不同，而时刻不异。若东西易地，虽北极同高而西方见，食必先东方，见食必后也。凡东西差一度，则时差四分。今以京师为主，视各省之子午线在京师东者以时差加，在京师西者以时差减，皆加减京师，各限时刻，为各省各限时刻也。是故欲定各省之时刻，必先定各省之子午线，而欲定各省之子午线，非分测各省之月食，其道无由也。

御制歴象考成，后编论月食臣等。谨按考成后编，论月食推步法，与上下编有异，并绘图系说，兹亦録其要焉。

定初亏、复圆时刻，以斜距比例求月食，求初亏、复圆时刻。旧以食甚实纬为一边，并径为一边，以实纬交白道之角为直角，用正弧三角形。法求得初亏、复圆距食甚之弧，以一小时月距日实行比例得时分。与食甚时刻相加减，即得初亏、复圆时刻。今以弧线可作直线算，故用勾弦求股之法，即得距弧。至以距弧变时，则以一小时两经斜距为比例。盖食甚两心实相距，既以斜距成直角，则初亏、复圆之并径亦与斜距成勾股，故仍以斜距比例时分也。

定初亏，复圆方位，以并径黄道交角，求旧定月食方位，月当黄道无距纬，即用黄道高弧交角为定交角。若月在交前后有距纬，则又求纬差角与黄道高弧交角相加减，为定交角。然求纬差角之法，必先用初亏、复圆交周，各求距纬，今初亏、复圆距弧皆斜距之度，须复以斜距与白道为比例，方得交周颇为费算。且前已有斜距黄道交角，与九十度相加减，即黄道交实纬角，则求得并径交实纬角与之相减，馀并径交黄道之角，即纬差角。甚为简便，故质名之曰并径黄道交角。

推月食法

臣等谨按考成下编，后编所载，推月食法各有不同。下编以推首朔诸平行及入交为入算之首，盖因平望太阳、太阴诸平行，皆以首朔诸平行为根也。后编用日躔月离求实望，则太阳、太阴诸平行不以首朔为根，而以天正冬至为根，故止求首朔之日时及入交之月数。合之即得平望距冬之日时，而不必求首朔诸平行也。下编先推平望诸平行，推日月相距，推实引，推实望，推实交周，推太阳实经，然后推实望用时后编推，首朔入交及实望实时即推实望用时。盖以日躔月离求得实望，而实望实交周及太阳黄道经度，已在本时日躔、月离之中也。兹准后编序列之。

求积年同推日躔法

求中积分同推日躔法。

求通积分同推日躔法。

求天正冬至同推日食法。求纪日同推日食法。

求积日同推日食法

求通朔同推日食法

求积朔及首朔同推日食法，求首朔、太阴、交周，同推日食法。求逐月望太阴交周置本年首朔太阴交周，加太阴交周望䇿宫度分、秒微。再以太阴交周朔䇿宫度分秒微递加十三次，得逐月望太阴交周。求太阴入交月数，逐月望太阴交周。自初宫初度至初宫一十五度九分，自五宫一十四度五十一分至六宫一十五度九分，自十一宫一十四度五十一分至十一宫三十度，皆为太阴入交第几。月入交，即第几月有食。

求平望以太阴入交月数与朔䇿二十九日五三○五九○五三相乘，加望䇿一十四日七六五二九五、二六五，与首朔日分相加，其所得日数即平望距冬至之日数，再加纪日，满纪法六十去之。自初日甲子起算，得平望干支。以周日一千四百四十分通其小馀，得平望时分秒。

求实望泛时，以平望距冬至之日数，用推日躔月离法，各求其子正黄道实行，将太阳、黄道实行加减，六宫与太阴、黄道实行相较。如太阴实行未及太阳，则平望日为实。望本日平望次日为实望次日。如太阴实行已过太阳，则平望前一日为实，望本日平望日为实，望次日。又用推日躔月离法，各求其本日或次日子正黄道实行，乃以本日次日两太阳实行相减，为一日之日实行本日次日两太阴实行相减为一日之月实行一日之二实行相减，为一日之月距日实行化秒为一率，周日一千四百四十分为二率，本日太阳实行加减六宫，内减本日太阴实行，馀化秒为三率，求得四率为距本日子正后之分数。以时收之得实望泛时，求实望实时以实望泛时之时刻设前后两时，用推日躔月离法，各求其黄道实行。乃以前后两时太阳实行相减，为一小时之日实行。以前后两时太阴实行相减为一小时之月，实行一小时，两实行相减为一小时，月距日实行化秒为一率，一小时化作三千六百秒为二率。前时太阳实行加减六宫，内减前时太阴实行，馀化秒为三率，求得四率为秒。以分收之，加于前时得实望实时。再以实望实时用推日躔月离法，各求其黄道实行，则太阴、太阳必对宫而同度。乃视本时月距正交自初宫初度至初宫一十二度一十七分，自五宫一十七度四十三分至六宫一十二度一十七分，自十一宫一十七度四十三分至十一宫三十度，皆入食限，为有食。不入此限者，不食即不必算。

求均数时差以实望太阳均数变时，得均数时差，均数加者则为减，均数减者则为加。

求升度时差以半径一千万为一率，黄赤大距二十三度二十九分之馀弦为二率，实望太阳距春、秋分黄道经度之正切线为三率，求得四率为距春秋分赤道经度之正切线。得太阳距春秋分。赤道经度。与太阳距春秋分黄道经度相减，馀为升度差。变时得升度时差。二分后为加。二至后为减求时差。总同推日食法。

求实望用时，置实望实时加减时差，总得实望用时距日出后日入前九刻以内者，可以见食。九刻以外者，则全在昼，即不必算。

求斜距交角差，以一小时太阴白道实行化秒为一边，一小时太阳黄道实行化秒为一边，实望黄白大距为所夹之角，用切线分外角法求得对小边之角为斜距交角差。

求斜距黄道交角，置实望黄白大距，加斜距交角差，得斜距黄道交角。

求两经斜距，以斜距交角差之正弦为一率，一小时太阳实行化秒为二率，实望黄白大距之正弦为三率，求得四率为秒。以分收之，得两经斜距。求食甚实纬。以半径一千万为一率，斜距黄道交角之馀弦为二率，实望月离黄道实纬化秒为三率，求得四率为秒。以分收之，得食甚实纬南北，与实。望黄道实纬同。

求食甚距弧，以半径一千万为一率，斜距黄道交角之正弦为二率，实望月离黄道实纬化为三率，求得四率为秒。以分收之，得食甚距弧。

求食甚距时，同推日食法

求食甚时刻，置实望用时加减，食甚距时，得食甚时刻。自初时起子正一时为丑初，以次顺数至二十三时为夜子初。毎十五分为一刻，不足一刻者为零分。

求太阳实引置实望太阳引数，加减本时太阳均数，得太阳实引。

求太阴实引，置实望太阴引数，加减本时太阴初均数，得太阴实引

求太阳距地，同推日食法求太阴距地，以实望太阴本天心距地数倍之为一边，以二千万为两边和，以太阴实行为一角，用三角作埀线，成两勾股法算之，求得地心至撱圆界之一边，即太阴距地。

求太阴地半径差，以太阴距地为一率，中距太阴距地一千万为二率，太阴中距最大地半径差五十七分三十秒，化作三千四百五十秒为三率，求得四率为秒。以分收之，得太阴地半径差。

求太阳视半径，以太阳距地为一率中，距太阳距地一千万为二率，中距太阳视半径一十六分六秒，化作九百六十六秒为三率，求得四率为秒。以分收之，得太阳视半径。

求影半径置太阴地半径差，加太阳地半径差一十秒，减太阳视半径，得影半径。

求影差太阴地半径差化秒，以六十九除之，得影差。

求实影半径，置影半径，加影差，得实影半径，求太阴视半径。同推日食法。

求并径以太阴视半径与实影半径相加，得并径。求两径较。以太阴视半径与实影半径相减，得两径较。

求食分，以太阴全径化秒为一率，十分化作六百秒为二率，并径内减食甚实纬馀化秒为三率，求得四率为秒。以分收之，得食分。

求初亏、复圆距弧，以并径与食甚实纬相加化秒为首率，相减化秒为末率，求得中率为秒，以分收之，得初亏、复圆距弧。

求初亏、复圆距时，以一小时两经斜距化秒为一率，一小时化作三千六百秒为二率，初亏、复圆距弧化秒为三率，求得四率为秒。以时分收之，得初亏、复圆距时。

求初亏时刻置食甚时刻，减初亏、复圆距时，得初亏时刻。不足减者，加二十四时减之，初亏即在前一日。命时之法，与食甚同。

求复圆时刻，置食甚时刻，加初亏、复圆距时，得复圆时刻。加满二十四时去之，复圆即在次日。命时之法，与食甚同。

求食旣生光距弧，食甚实纬大于两径较，则食在十分内，无食旣生光。以两径较与食甚实纬相加化秒为首率，相减化秒为末率，求得中率为秒，以分收之，得食旣生光距弧。求食旣生光距时，以一小时两经斜距化秒为一率，一小时化作三千六百秒为二率。食旣生光距弧化秒为三率，求得四率为秒，以时分收之，得食旣生光距时。

求食旣时刻置食甚时刻，减食旣生光距时得食旣时刻不足减者，加二十四时减之，食旣即在前一日。命时之法，与食甚同。

求生光时刻，置食甚时刻，加食旣生光距时，得生光时刻。加满二十四时去之，生光即在次日。命时之法，与食甚同。

求距时月实行，以一小时化作三千六百秒为一率，一小时太阴白道实行化秒为二率，食甚距时化秒为三率，求得四率为秒，以分收之，得距时月实行。食甚距时加者亦为加，减者亦为减。

求食甚太阴白道经度，置实望太阴白道实行，加减距时月实行。得食甚太阴白道经度。

求食甚月距正交置实望月距正交加减距时月实行，得食甚月距正交。

求黄白升度差，以半径一千万为一率，实望黄白大距之馀弦为二率，食甚月距正交之正切线为三率，求得四率为黄道之正切线，得黄道度。与食甚月距正交相减，馀为黄白升度差。食甚距时加者亦为加，减者亦为减。

求食甚太阴黄道经度置食甚太阴白道经度，加减黄白升度差，得食甚太阴黄道经度。

求食甚太阴黄道宿度，察食甚太阴黄道经度，足减本年黄道宿钤内某宿度，分则减之，馀为食甚太阴黄道宿度。

求食甚太阴黄道纬度，以半径一千万为一率，实望黄白大距之正弦为二率，食甚月距正交之正弦为三率，求得四率为距纬之正弦，得食甚太阴黄道纬度，南北与食甚实纬同。

求太阴距二分弧与黄道交角，以半径一千万为一率，食甚太阴距春秋分黄道经度之正弦为二率，食甚太阴黄道纬度之馀切线为三率，求得四率为太阴距二分弧与黄道交角之馀，切线得太阴距二分弧与黄道交角。

求太阴距二分弧与赤道交角，置黄赤交角二十三度二十九分，加减太阴距二分弧，与黄道交角，得太阴距二分弧与赤道交角。食甚太阴黄道经度在秋分后春分前者，黄道在赤道南纬南则加仍为南，纬北则减，亦为南。若太阴距二分弧与黄道交角大于黄赤交角，则反减，即为在赤道北。食甚太阴黄道经度在春分后、秋分前者，黄道在赤道北纬北则加仍为北，纬南则减，亦为北。若太阴距二分弧与黄道交角，大于黄赤交角，则反减即为在赤道南。

求太阴距二分弧之正切线，以太阴距二分弧与黄道交角之馀弦为一率，半径一千万为二率，食甚太阴距春、秋分黄道经度之正切线为三率，求得四率为太阴距二分弧之正切线。

求食甚太阴赤道经度，以半径一千万为一率，太阴距二分弧与赤道交角之馀弦为二率，太阴距二分弧之正切线为三率，求得四率为太阴距春秋分赤道度之正切线，得太阴距春秋分赤道经度。自冬至初宫起算，得食甚太阴赤道经度。求食甚太阴赤道宿度，察食甚太阴赤道经度，足减本年赤道宿钤内某宿度分则减之，馀为食甚太阴赤道宿度。

求食甚太阴赤道纬度，以半径一千万为一率，太阴距二分弧与赤道交角之正切线为二率，食甚太阴距春秋分赤道经度之正弦为三率，求得四率为距纬之正切线，得食甚太阴赤道纬度。求影距赤道度，以半径一千万为一率，黄赤大距二十三度二十九分之正弦为二率，影距春秋分黄道经度之正弦为三率，求得四率为影距赤道度之正弦，得影距赤道度。太阳在春分后，秋分前影在赤道南，太阳在秋分后、春分前，影在赤道北。求黄道赤经交角。以影距春秋分黄道经度之馀弦为一率，黄赤大距二十三度二十九分之馀，切线为二率，半径一千万为三率，求得四率为黄道赤经交角之正切线，得黄道赤经交角。

求影距北极置九十度，加减影距赤道度，得影距北极。

求初亏、复圆影距正午赤道度，以初亏、复圆各距子正之时刻，变赤道度，得初亏、复圆影。距正午，各赤道度初亏、复圆时刻在子正前者，影在正午东，在子正后者，影在正午西。

求初亏、复圆赤经高弧交角，以北极距天顶为一边，影距北极为一边，初亏、复圆影距正午各赤道度为所夹之角，用斜弧三角形法，自天顶作埀弧至赤道经圈，即成两正弧三角形。先以半径一千万为一率，影距正午各赤道度之馀弦为二率，北极距天顶之正切线为三率，求得四率为距极分边之正切线。得距极分边，以距极分边与影距北极相加减为距影分边。次以半径一千万为一率，影距正午各赤道度之正切线为二率距极，分边之正弦为三率，求得四率为埀弧之正切线。又以距影分边之正弦为一率，垂弧之正切线为二率，半径一千万为三率，求得四率为赤经高弧交角之正切线，得初亏、复圆赤经高弧各交角。

求初亏、复圆黄道高弧交角，置黄道赤经交角，加减初亏、复圆赤经高弧交角，得初亏、复圆黄道高弧交角。太阴在夏至前六宫，影在午西则减，亦为限西。影在午东则加加过九十度，与半周相减，亦为限东。若相加不及九十度，则不与半周相减，变为限西。太阴在夏至后六宫，影在午东则减，亦为限。东影在午西则加，加过九十度，与半周相减，亦为限西。若相加不及九十度，则不与半周相减，变为限东。

求并径交实纬角，以并径化秒为一率，食甚实纬化秒为二率，半径一千万为三率，求得四率为并径交实纬角之馀弦得并径交实纬角。

求初亏黄道交实纬角，置九十度，加减斜距黄道交角，得初亏黄道交实纬。角食甚月距正交初宫、六宫为减，五宫、十一宫为加。

求初亏并径黄道交角，以初亏黄道交实纬角与并径交实纬角相减，得初亏并径黄道交角。凡并径交实纬角小，于初亏黄道交实纬角，则初亏距纬之南北与食甚同大于初亏黄道交实纬角则食甚为纬北者初亏为纬南。食甚为纬南者，初亏为纬北。若两角相等，则并径与黄道合。无交角求复圆黄道交实纬角。置九十度加减斜距黄道交角，得复圆黄道交实纬角。食甚月距正交初宫、六宫为加，五宫十一宫为减。

求复圆并径黄道交角，以复圆黄道交实纬角与并径交实纬角相减，得复圆并径黄道交角。凡并径交实纬角小于复圆黄道交实纬角，则复圆距纬之南北与食甚同大。于复圆黄道交实纬角则食甚为纬北者复圆为纬南。食甚为纬南者复圆为纬北。如两角相等，则并径与黄道合。无交角，求初亏，并径高弧交角。置初亏黄道高弧交角，加减初亏并径，黄道交角得初亏。并径高弧交角初亏在限东者，纬南则加，纬北则减，初亏在限西者，纬南则减，纬北则加。如无初亏、并径黄道交角，则初亏黄道高弧交角，即初亏、并径高弧交角，求复圆并径高弧交角。置复圆黄道高弧交角，加减复圆，并径黄道交角，得复圆。并径高弧交角。复圆在限东者，纬南则减，纬北则加，复圆在限西者，纬南则加，纬北则减。如无复圆并径黄道交角，则复圆黄道。高弧交角即复圆并径高弧交角。求初亏方位初亏在限东者，初亏并径高弧交角初度为正下，四十五度以内为下偏左，四十五度以外为左偏下九十度为正左，过九十度为左偏上，初亏在限西者，初亏并径高弧交角初度为正上四十五度以内为上偏，左四十五度以外为左偏，上九十度亦为正左，过九十度为左偏，下并径黄道交角。大反减黄道高弧交角者，则左变为右。求复圆方位。复圆在限东者。复圆并径高弧交角初亏为正。上四十五度以内为上偏右四十五度以外为右偏，上九十度为正右，过九十度为右偏下。复圆在限西者，复圆并径高弧交角初度为正下，四十五度以内为下偏右。四十五度以外为右偏，下九十度亦为正右，过九十度为右偏上。并径黄道交角。大反减黄道高弧交角者，则右变为左求食限总时。以初亏、复圆距时倍之，得食限总。时推月食带食法。

臣等，谨按考成下编后编，推月食带食法各有不同，今以钦天监所遵用者序列之。

求日出入卯酉前后赤道度同。推日食带食法求日出入时分，同推日食带食法。

求带食距时，同推日食带食法，求带日距弧同推日食带食法，求带食两心相距，以半径一千万为一率，带食距弧之馀弦为二率，食甚实纬之馀弦为三率，求得四率为带食两心相距之馀弦，得带食两心相距，求带食分秒。以太阴视半径倍之，得太阴全径化秒为一率，十分化作六百秒为二率，并径内减带食两心相距馀化秒为三率，求得四率为秒。以分收之，得带食分秒。

求带食赤经高弧交角，以影距赤道度之馀弦为一率，北极高度之正弦为二率，半径一千万为三率，求得四率为赤经高弧交角之馀弦，得带食赤经高●交角，带出地平为东带，入地平为西求带食黄道高弧交角。置黄道赤经交角，加减带食赤经高弧交角，得带食黄道高弧交角。太阴在夏至前六宫，影在午西则减，午东则加。太阴在夏至后六宫，影在午西则加，午东则减。

求带食两心相距交实纬角，以带食两心相距化秒为一率，食甚实纬化秒为二率，半径一千万为三率，求得四率为交角之馀弦，得带食两心相距交实纬角。

求带食两心相距与黄道交角，以初亏或复圆黄道交实纬角与带食两心相距交实纬角相减，得带食两心相距，与黄道交角带食两心相距交实纬角小于黄道交实纬角，则带食距纬之南北与食甚同大，于黄道交实纬角，则食甚为纬。北者带食为纬南，食甚为纬南者，带食为纬北。若两角相等，则两心相距，与黄道合，无交角。

求带食两心相距，与高弧交角，置带食黄道高弧交角，加减带食两心相距，与黄道交角，得带食两心相距，与高弧交角食甚前带出地平食甚后带入地平者，纬南则加，纬北则减。食甚后带出地平，食甚前带入地平者，纬南则减，纬北则加。如带食两心相距与黄道无交角，则带食黄道高。弧交角即带食两心相距，与高弧交角。

求带食方位，食甚前与初亏同，食甚后与复圆同。推各省月食法

臣等谨按考成下编后编推各省月食法，各有不同，今以钦天监所遵用者序列之。

求各省月食时刻。置京师月食时刻，按各省东西偏度所变之时分加减之，得各省月食时刻。求各省月食方位，以各省北极高度及各省初亏、复圆时刻，依京师推月食方位法算之，得各省月食方位。

皇朝文献通考》卷二百六十五