卷二百五十七

钦定四库全书

皇朝《文献通考》卷二百五十七《象纬考》二

两仪七政，恒星总论。

臣等谨按前史，志天文者，大抵详于七政恒星，而于两仪则纪其变，而弗纪其常我。

朝作《明史天文志》，以常象虽无古今之异，而言天者后胜于前。宜标其指要，以为纲领。爰先两仪，次七政，恒星伏。惟

圣祖仁皇帝著《厯象考成》一书，综前古周髀、宣夜浑天诸家之同异，而折衷一是我。

皇上复以近时实测之数，剖析源流，著为《后编》，盖皆循蜚疏仡以来，三极彛训之所未有也。兹敬録、总论》诸篇，彚为一卷，以识推步测验者之所据依焉。御制《厯象考》成，上编论天象。

虞书尧典曰：钦若昊天厯象，日月星辰」。楚词天问曰：圜则九重，孰营度之？后世厯家谓天有十二重，非天实有如许重数，盖言日月星辰转运于天，各有所行之道，即楚词所谓圜也。欲明诸圜之理，必详诸圜之动欲，考诸圜之动，必以至静不动者凖之，然后得其盈缩，盖天道静专者也，天行动直者也。至静者自有一天与地相为表里，故群动者运于其间而不息，若无至静者以验至动，则圣人亦无所成其能矣。人恒在地面测天，而七政之行无不可得者，正为以静验动故也。十二重天最外者为至静不动，次为宗动，南北极赤道所由分也。次为南北岁差，次为东西岁差，此二重天其动甚㣲，厯家姑置之而不论焉。次为三垣二十八宿经星行焉。次为填星所行，次为岁星所行。次为荧惑所行，次则太阳所行黄道是也。次为太白所行，次为星辰所行。最内者则太阴所行，白道是也。要以去地之逺近而为诸天之内外，然所以知去地之逺近者，则又从诸曜之掩食及行度之迟疾而得之。盖凡为所掩食者必在上而掩之，食之者必在下，月体能蔽日光而日为之食，是日逺月近之征也。月能掩食五星，而月与五星又能掩食恒星，是五星髙于月而卑于恒星也，五星又能互相掩食，是五星各有逺近也。又宗动天，以浑灏之气挈诸天左旋，其行甚速，故近宗动天者，左旋速而右移之度迟渐逺宗动天则左旋较迟而右移之度转速。今右移之度，惟恒星最迟，土木次之，火又次之，日金水较速而月最速，是又以次而近之证也。是故恒星与宗动相较，而岁差生焉。太阳与恒星相㑹而岁实生焉，黄道与赤道出入而节气生焉，太阳与太阴循环，而朔望盈虚生焉，黄道与白道交错而薄蚀生焉。五星与太阳离合，而迟疾顺逆生焉，地心与诸圜之心不同而盈缩生焉。厯代专家，多方测量，立法布算，积乆愈详，已得其大体。其间或有毫芒之差，诸说不无同异者，盖因仪器仰测穹苍，失之纎微，年乆则著，虽有圣人，莫能预定，惟立穷源竟委之法，随时实测，取其精密附近之数，折中用之，每数十年而一修正，斯为治厯之通术，而古圣钦若之道，庶可复于今日矣。

御制厯象考成。上编论地体，欲明天道之流行，先达地球之圆体。日月星辰，每日出入地平一次，而天下大地必非同时出入，居东方者先见，居西方者后见，东西相去万八千里。则东方人见日为午正者，西方人见日为卯正也。周天三百六十度，每度当地上二百里，是故推验大地经纬度分，皆与天应测纬度者，用午正日晷或测南北二极测经度，则必于月蚀取之。盖月蚀与日蚀异日之食限分数随地不同，月之食限分数天下皆同。但入限有昼夜，人有见不见耳。此处食甚于子者，处其东三十度，必食甚于丑处，其西三十度必食甚于亥，是故相去九十度，则此见食于子，而彼见食于酉，相去百八十度，则此见食于子而彼当食于午，虽食而不可见矣。

御制厯象考成，上编论黄道赤道天包地外圜转不息，南北两极，为运行之枢纽，地居天中，体圆而静，人环地面以居，随其所至，适见天体之半，中华之地面近北，故北极常见南极常隐平分两极之中，横带天腰者，为赤道赤道距天顶之度，即北极出地之度也。赤道以北为内为阴，以南为外、为阳斜，交赤道而半出其南，半出其北者为黄道，乃太阳一岁所躔之轨迹也。黄赤道相交之两界为春秋分，距赤道南二十三度半为冬至，距赤道北二十三度半为夏至七政所行之道纷然不齐，惟恃黄赤二道以为推测之本。盖太阳循黄道东行而出入于赤道之南北太阴，与五星各循本道东行，而又出入于黄道之南北，故黄赤二道之位定，则昼夜永短、寒暑进退以及晦、朔、弦、望、薄蚀，朏朒皆从此可稽矣。

御制厯象考成上编论经纬度，恒星七政各有经纬度，盖天周弧线纵横交加，即如布帛之经纬，然故以东西为经，南北为纬。然有在天之经纬，有随地之经纬，在天则为赤道为黄道，随地则为地平赤道均分，三百六十度平分之为半周，各一百八十度四分之为象限，各九十度六分之为纪限，各六十度十二分之为宫，为时各三十度，是为赤经。从经度出弧线，与赤道十字相交，各引长之㑹，于南北极皆成全圜，亦分为三百六十度，两极相距各一百八十度，两极距赤道俱九十度，是为赤纬依纬度作圜与赤道平行名距等圈，此圈大小不一，距赤道近则大，距赤道逺则小，其度亦三百六十，俱与赤道之度相应也。赤道之用，有动有静，动者，随天左旋与黄道相交，日躔之南北，于是乎限。静者太虚之位，亘古不移，昼夜之时刻于是乎纪焉。黄道之宫度并如赤道，其与赤道相交之两㸃为春秋分相距，皆半周平分。两交之中为冬夏至，距两交各一象限，六分象限为节气各十五度，是为黄经从经度出弧线，与黄道十字相交。各引长之周于天体即成全圜。其各圜相凑之处，不在赤道之南北，两极而别有其枢心，是为黄极黄极之距，赤极即两道相距之度，其距黄道亦皆九十度，是为黄纬，而月与五星出入黄道之南北者，悉于是而辨焉。故凡南北圈过赤道，极者必与赤道成直角而不能与黄道成直角，其过黄道极者，亦必与黄道成直角，而不能与赤道成。直角惟过黄赤两极之圈，其过黄赤道也，必当冬夏二至之度，所以并成直角，名为极至交圈。又若赤道度为主，而以黄道度凖之，则互形大小，何也？浑圆之体，当腰之度最寛，渐近两端则渐狭，距等圈之度也。二至时黄道，以腰度当赤道距等圈之度，故黄道一度当赤道一度有馀，二分时两道虽皆腰度，然赤道平而黄道斜，故黄道一度当赤道一度不足也。此所谓同升之差，而七政升降之斜正，伏见之先后，皆由是而推焉。至于地平经纬，则以各人所居之天顶为极。盖人所居之地不同，故天顶各异而经纬从而变也。地在天中，体圆而小，随人所立，凡目力所极，适得大圆之一半，则地虽圆而与平体无异，故谓之地平，乃诸曜出没之界，昼夜晦明之交也。地平亦分三百六十度四分之为四方，子午卯酉各相距九十度二十四分之为二十四向，各十五度，是为地平经。从经度出弧线上，㑹于天顶，并皆九十度。从地平下至天顶之冲亦九十度是为地平纬。又名高弧高弧，从地平正午上㑹天顶者。其全圈必过赤道南北两极，名为子午圈，乃诸曜出入地平适中之界，而北极之高下，晷影之长短，中星之推移，皆由是而测焉。是故经纬相求，黄赤互变，因黄赤而求地平，或因地平而求黄赤，乃厯象之要务，推测之所取凖也。

御制厯象考成上编论七政宿度。

日月五星皆有宿度。古以十二宫定于二十八宿，故宿度逐岁不同者，经度亦因而不同。今以二十八宿厯于十二宫，故宿度逐岁有差，而经度终古不变。其法以岁差五十一秒按岁积之，与各宿第一星黄道经度相加，为本年黄道宿钤。乃于七政黄道经度内减去相当黄道宿度，馀即七政黄道宿度。盖七政恒星皆宗黄道，故宿度亦以黄道推也。至于日月交食，则并用赤道宿因，其关于天行最著，故于推算独详。然各宿赤道经纬度逐岁不同，须按推恒星赤道经度法，求得本年各宿第一星赤道经度，为本年赤道宿钤，乃于太阳太阴赤道经度内减去相当赤道宿度，馀即太阳太阴赤道宿度，御制厯象考成。上编论北极高度。

北极为天之枢纽，居其所而不移，其出地有高下者，因人所居之地，南北之不同也。是故寒暑之进退，昼夜之永短，因之而各异焉。盖厯法以日躔出入赤道之度，定诸节气，而北极出地之度，即赤道距天顶之度。倘推测不精，高度差至一分，则春秋分必差一时，而冬夏至必差一二日。日躔既差，则月离五星之经纬，无不谬矣。故测北极，出地之高下，最宜精密，不容或略也。

御制厯象考成，上编论地半径差。

凡求七曜出地之高度，必用测量，乃测量所得之数与推步所得之数，往往不合。盖推步所得者，七曜距地心之高度，而测量所得者，七曜距地面之高度也。距地心之高度为真高距，地面之高度为视高，人在地面不在地心，故视高必小于真高以有地半径之差也。或有大于真高者，则濆䝉气所为也。盖七曜恒星虽皆丽于天，而其高下又各不等，惟恒星天为最高，其距地最逺地，半径甚㣲，故无视高真高之差。若夫七曜诸天，则皆有地半径差。

御制厯象考成，上编论地影半径。

太阳照地而生，地影太阴，遇影而生薄蚀，凡食分之浅深，食时之乆暂，皆视地影半径之大小，其所系固非轻也，但地影半径之大小，随时变易，其故有二：一縁太阳距地有逺近，距地逺者，影巨而长，距地近者影细而短，此由太阳而变易者也。一縁地影为尖圆，体近地粗而逺地细，太阴行最卑，距地近则过影之，粗处，其径大行最高，距地逺则过影之细处其径小，此由太阴而变易者也。

御制厯象考成，上编论日月实径与地径日最大地次之，月最小。新法厯书载日径为地径之五倍有馀，月径为地径之百分之二十七强。今依其法，用日月高卑两限各数推之，所得实径之数，日径为地径之五倍。又百分之七，月径为地径之百分之二十七弱，皆与旧数大制相符足征，其说之有据而非诬也。御制厯象考成上编论清䝉气差。

清䝉气差，从古未闻，明万厯间，西人第谷始发之，其言曰：清蒙气者，地中游气，时时上腾，其质轻微，不能隔碍人目，却能映小为大，升卑为高，故日月在地平上，比于中天，则大星座在地平上，比于中天，则广此映小为大也。定望时地在日月之间，人在地面，无两见之理，而恒得两见，或日未西没而已。见月食于东，日已东出，而尚见月食于西，此升卑为高也。又曰：「清䝉之气，有厚薄、有高下，气盛则厚而高，气微则薄而下而升，像之高下亦因之而殊。其所以有厚薄有高下者，地势殊也。若海或江湖，水气多，则清蒙气必厚且高也。故欲定七政之纬，宜先定本地之清。䝉差第谷言，其国北极出地五十五度，有竒，测得地平上最大之差三十四分，自地平以上，其差渐少至四十五度，其差五秒更高，则无差矣。此即新法厯书所用之表也。近日西人又言，于北极出地四十八度之地，测得太阳高四十五度，时䝉气差尚有一分馀，自地平至天顶，皆有蒙气差。即此观之，益见䝉气差之随地不同，而第谷之言为不妄矣。

御制《厯象考》成，上编论曚影刻分曚影者，古所谓晨昏分也。太阳未出之先，已入之后，距地平一十八度皆有光，故以一十八度为曚影限。然北极出地有高下，太阳距赤道有南北，故曚影刻分随时随地不同。其随时不同者，二分之刻分少，二至之刻分多也。随地不同者，愈北则刻分愈多，愈南则刻分愈少也。若夫北极出地五十度，则夏至之夜半犹有光，愈高则渐不夜矣。南至赤道下，则二分之刻分极少，而二至之刻分相等，赤道以南反是。

御制厯象考成，上编论时差。时差者，平时与用时相较之时分也，推步所得者为平时，测量，所得者为用时用时即视时也。二者常不相合，其故有二：一因太阳之实行而时刻为之进退，盖以高卑为加减之限也。一因赤道之升度而时刻为之消长，盖以分至为加减之限也。新法厯书合二者以立表，名曰日差。然高卑每年有行分，则宫度引数必不能相同。若合立一表，岁乆即不可用。今仍分作二表，加减两次，庶于法为密也。

御制厯象考成，上编论岁差岁差者，太阳每岁与恒星相距之分也。如今年冬至太阳躔某宿度，至明年冬至时，不能复躔原宿度，而有不及之分。但其差甚微，古人初未之觉。至晋虞喜始知之，因立岁差法，厯代治厯者宗焉，而所定之数，各家不同。喜以五十年差一度，刘宋何承天以百年差一度。祖冲之以四十五年差一度，隋刘焯以七十五年差一度，唐傅仁均以五十五年差一度。僧一行以八十二年差一度。惟宋杨忠辅以六十七年差一度，以周天三百六十度，每度六十分，每分六十秒约之，得每年差五十二秒半元。郭守敬因之，较诸家为密。今新法实测晷影，验之中星，得七十年有馀而差一度，每年差五十一秒。此所差之数，在古法为冬至西移之度，新法为恒星东行之度征之。天象恒星，原有动移，则新法之理长也。

御制厯象考成上编论厯元。

治厯者必有起算之端，是谓厯元，其法有二：一则逺溯古初冬至七曜齐元之日为元，自汉太初以来诸厯所用之积年是也。一则截算为元，若元授时厯以至元辛巳天正冬至为元，今时宪厯以崇祯元年戊辰天正冬至为元是也。二者虽同为起算之端，然积年实不如截算之简易也。夫所谓七曜齐元者，乃溯上古冬至之时，岁月日时皆㑹甲子，日月如合璧，五星如联珠，是以为造厯之元，使果有此，虽万世遵用可矣，而廿一史所载诸家厯元无一同者，是其所用，积年之乆，近皆非有所承受，但以巧算取之而已，当其立法之初，亦必有所验于近测，遂援之以立术，于是溯而上之，至于数千万年之逺，庶几各曜之躔次，可以齐同，然既欲其上合厯元，又欲其不违近测竒零分秒之数，决不能齐，势不能不稍为迁就以求其巧，合其始也，据近测以求积年，其既也，且将因积年而改近测矣。杜预云：治厯者，当顺天以求合，不当为合以验天积年之法，是为合以验天也，安得为立法之尽善乎？若夫截算之法，不用积年虚率，而一以实测为凭，诚为顺天求合之道，治厯者所当取法也。

御制厯象考成，上编论太阳行度太阳行天每岁一周万，古不忒，宜其每日平行，而无有盈缩乃征之实测则春分。至秋分行天半周而厯日多，秋分至春分行天半周而厯日少，其在本天所行之度，原均而人居地上，所见时日不同。今即其不平行之数，求其所以然之故，则惟有本天高卑之说能尽之本天高卑之法有二：一为不同心天。盖天包地外以地为心，太阳本天亦包乎地外，而不以地为心。因其有两心之差而高卑判焉。自春分厯夏至以至秋分，太阳行本天之大半周，故厯日多而自地心立算，止行黄道之半周，故为行缩。自秋分厯冬至以至春分，太阳行本天之小半周，故厯日少而自地心立算，亦行黄道之半周，故为行盈。夫日在本天，原自平行，因自地心立算，而不以太阳本天心立算，遂有高卑盈缩之异。故高卑为盈缩之原，而两心之差又高卑之所由生也。一为本轮，盖本天与地同心，而本天之周又有一本轮本。轮心循本天周向东而行，日在本轮之周，向西而行，两行之度相等，太阳在本轮之下半周，去地近为卑，则顺轮心行，故见其速于平行在本轮之上半周，去地逺为高，则背轮心行，故见其迟于半行在本轮之左右，去地不逺，不近为高卑适中，故名中距其行与半行等本轮循本天东行为平行度。太阳循本轮西行，由下而左而上而右而复于下为自行度。如太阳在本轮之下，去地心最近，是为最卑。太阳在本轮之上，去地心最逺，是为最高最高最卑之㸃，皆对本轮心与地心成一直线，其平行实行同度，故为盈缩起算之端。如太阳由本轮下向左顺轮心行，能益东行之度，故较平行度为盈至半象，限后所益渐少。迨轮心行一象限，太阳亦行轮周，一象限即无所益，而复于平行是为中距。然而积盈之多正在中距，盖从地心立算为盈差之极大也。从中距而后，太阳行本轮之上半周背轮心行，故实行渐缩。然因有积盈之度方，以次渐消其实行，仍在平行前迨行满一象限至最高为极缩，而积盈之度始消尽无馀，其实行与平行乃合为一线，故自最卑至最高半周俱为盈也。如太阳由本轮上向右背轮心行能损东行之度，故较平行度为缩至半，象限后所损渐少。迨轮心行一象限，太阳亦行轮周一象限即无所损，而复于平行是为中距。然而积缩之多亦在中距，盖从地心立算，为缩差之极大也。从中距而后，太阳行本轮之下半周顺轮心行，故实行渐盈。然因有积缩之度方，以次相补，其实行仍在平行后。迨行满一象限至最卑为极盈，而积缩之度始补足无缺，其实行与平行乃合为一线，故自最高至最卑半周俱为缩也。求得两心之差，而本轮之径自见明于本轮之故，而盈缩之理益彰，其理相通，其用相辅，可以参稽而互证也。

御制厯象考成，上编论太阴行度太阴行度有九，而随天西转之，行不与焉。一曰平行，盖太阴之本，天带一本，轮本轮心循本天，自西而东，每日平行一十三度有竒，二十七日有馀而行天一周，即白道经度也。二曰自行，盖本轮心循白道行，自西而东即平行经度。太阴复依本轮周行，自东而西，每日亦行一十三度，有竒微不及本轮心行而与本轮心之行，顺逆参错，人目视之，遂生迟疾，故名自行以别之授时厯名为转周，满一周为转终，其所生之迟疾差名为初均数也。三曰均轮行西人第谷言用一本轮以齐太阴之行，往往与实测未合，因将本轮半径三分之存其二分为本轮半径，用其一分为均轮半径，均轮循本轮周行自东而西即自行转周度。太阴复依均轮周行，自西而东，每日行二十六度有竒为轮心行之倍度。均轮心行一度，月行均轮周二度也。其所生之迟疾差，即今所用之初均数也。四曰次轮行，盖用本轮均轮推得迟疾之最大差为四度，有竒于朔望时测之，其数恰合而于上下弦时测之则不合。其大差至七度有竒，故又于均轮之周复设一轮，循均轮周行命为次，轮次轮心自西而东，太阴复依次轮周，亦自西而东，每日行二十四度有竒为本轮心距太阳行之倍度，本轮心距太阳行一度，月行次轮周二度。名为倍离倍离所生之迟疾，差名为次均数也。五曰次均轮行，盖有初均，次均以步朔望以定两弦，则既合矣。而于两弦前后测之，又多不合。爰思次轮之上，必更有一轮以消息乎？次均之数，今命之曰次均轮，其心循次轮周，自西而东，行倍离之度而太阴，则循此轮之周，自东而西，亦行倍离之度，用其所生之差，以加减次均数，即与太、阴、两弦前后所行恰合也。六曰交行，盖太阴行白道出入于黄道之内，外大距五度有竒，其自黄道南过黄道北之㸃名曰正交即如春分自赤道南过赤道北。自黄道北过黄道南之㸃，名曰中交。即如秋分自赤道北过赤道南每交之中，不能复依原次而不及一度有馀，逐日计之，退行三分有馀，命为两交左旋之度自东而西也。亦名罗计行度也。正交曰罗㬋中交曰计都，七曰最高。行最高者，本轮之上半最逺地心之处，而最高行者，平行与自行相较之分也。均轮心从最高左旋微，不及于平行，每日六分有竒，即命为最高左旋之度，亦名月孛行度也。八曰距日行于每日平行度内，减去太阳之行，为每日太阴，距太阳行二十九日有竒而复与日㑹，是为朔䇿。九曰距交行，以每日平行度与每日交行相加，得每日太阴距交度二十七日有竒而行交一周，名为交周也。

太阴行度，用四轮推之，而四轮之法皆系实测而得，非意设也。西人第谷以前，步月离惟用本轮次轮，盖因朔望之行有迟疾，故知其有本轮，而两弦之行不同于朔望，故知其有次轮。其法次轮与本轮两周相切，太阴行于次轮之上，朔望时太阴正当两周相切之㸃，故云朔望时太阴循本轮周行，而两弦时太阴，则从两周相切之㸃行。次轮半周距本轮心最逺，故次轮全径为两弦时。大于朔望时平行实行之极大差，第谷遵其法用之，因不能密合太阴之行，故于本轮上复加一均轮。且因两弦前后之行又不同于两弦，故又加一次均轮，盖用本轮推朔望时平行实行之极，大差为本轮半径，得四度五十八分有馀而征之实测。惟自行三宫九宫初度之一㸃为合，在最高前后两象限则失之，小在最卑前后两象限则失之大，故第谷将本轮半径三分之存其二分为本轮半径，取其一分为均轮半径，用求平行实行之差为初均数。乃密合于天，至于两弦时平行实行之极大差七度二十五分有馀，虽为新本轮半径并均轮半径，仍加次轮全径之数，然即旧本轮半径与次轮全径相并之数也。其次均轮行于次轮，即如初均轮之行，于本轮但所行之度不同耳。初均轮行为引数之度，次均轮行为倍离之度。要之，本轮者推本天之高卑，均轮者所以消息本轮之行度。次轮者，定朔望两弦之逺，近次均轮者，又所以分别朔望两弦前后之加减，故本轮行度合初均轮之倍引，而生初均数分高卑左右而为朔望之加减差也。次轮行度合次均轮之倍离，而生二三均数分逺近上下，而为两弦及两弦前后之加减差也。是故非验诸实测，无以知四轮之妙而明于四轮之用，则于太阴迟疾之故思过半矣。

御制厯象考成上编论朔望有平实之殊，日月相㑹为朔，相对为望，而朔望又有平实之殊，平朔望者，日月之平行度相㑹相对也。实朔望者，日月之实，行度相㑹相对也。故平朔望与实朔望相距之时刻，以两实行相距之度为凖。盖两实行相距之度，以两均数相加减而得，而两朔望相距之时刻，则以两实行相距之度变为时刻，以加减平朔望，而得实朔望，故两实行相距无定度，则两朔望相距亦无定时也。

御制厯象考成，上编论晦、朔、弦、望。

太阴之晦朔弦望，虽无关于自行之迟疾，而自行之迟疾，实由于朔望两弦而得知，其二十七日，有竒而一周者，太阴之自行也，其二十九日半强而与太阳相㑹者，朔䇿也，其间犹有望与上下两弦之分焉，盖太阴之体，赖太阳而生光，其向太阳之面恒明，背太阳之面恒晦，而其行则甚，速于太阳，当其与太阳相㑹之时，人在地上，正见其背，故谓之朔。朔后渐逺太阳，人可渐见其面，其光渐长，至距朔七日有竒，其距太阳九十度人，可见其半面，太阳在后，太阴在前，其光向西，其魄向东，故名上弦上弦以后距太阳愈逺，其光渐满至一百八十度，正与太阳相望，人居其间，正见其面，故谓之望。自望以后，又渐近太阳，人不能正见其面，其光渐亏其魄，渐生至距，望七日有竒，其距太阳亦九十度，则又止见其半面，太阳在前，太阴在后，其光向东，其魄向西，故名下弦。下弦以后距太阳愈近，其光渐消，至复与太阳相㑹，其光全晦复为朔矣。

御制厯象考成，上编论太阴隐见迟疾，合朔之后，恒以三日月见于西方，故尚书注月之三日为哉生明，然有朔后二日即见者，更有晦日之晨，月见东方，朔日之夕，月见西方者。唐厯家遂为进朔之法，致日食乃在晦。宋、元史已辨其非而未明其故。盖月之隐见迟疾，固有一定之理，可按数而推，殆因乎天行，由于地度无庸转移迁就也。至于汉、魏厯家，未明盈缩迟疾之差，以平朔著厯，故有晦而月见西方朔而月见东方者，此则推步之疏，不可以隐见迟疾论也。隐见之迟疾，一因黄赤道之升降有斜正也。盖春分前后各三宫，由星纪至实沈六宫。黄道斜升而正降月，离此六宫，则朔后疾，见秋分前后各三宫。由鹑首至析木六宫。黄道正升而斜降月离，此六宫则朔后迟见。如日躔降娄初度月离降娄一十五度为正降。日入时，月在地平上高一十四度馀，即可见，盖入地迟而见早也。日躔寿星，初度，月离寿星一十五度为斜降。日入时，月在地平上高六度馀，即不可见，盖入地疾而见迟也。若晦前月离正升六宫，则隐迟斜升，六宫则隐早，其理亦同。一因月距黄纬有南北也。盖月距黄道北则朔后见早，距黄道南则朔后见迟。如日躔降娄初度，月离降娄一十五度。而月距黄道北，则月距地平之度多入地迟而见早。月距黄道南则月距地平之度少入地疾而见迟也。若晦前距黄道北则隐迟，距黄道南则隐早，其理亦同。一因月自行度有迟疾也。盖月自行迟则朔后见迟晦前，隐迟自行疾，则朔后见早晦前隐早也。夫月离正降宫度距日一十五度即可见，以每日平行一十二度有竒计之，则朔后一日有馀即见生明于西。是故合朔如在甲日亥子之间，月离正升宫度距黄道北而又行迟厯则甲日太阳未出，亦见东方月离正降宫度，距黄道北而又行疾厯，则乙日太阳已入亦见西方矣。

御制厯象考成，上编论恒星东行。恒星行即古岁差也。古谓恒星不动而黄道西移。今谓黄道不动而恒星东行，盖使恒星不动而黄道西移，则恒星之黄道经纬度宜每岁不同，赤道经纬度宜终古不变。今测恒星之黄道经度，每岁东行而纬度不变，至于赤道经度，则逐岁不同，而纬度尤甚。自星纪至鹑首六宫，星在赤道南者，纬度古多而今渐少。在赤道北者，纬度古少而今渐多。自鹑首至星纪六宫，星在赤道南者，纬度古少而今渐多。在赤道北者，纬度古多而今渐少。凡距赤道二十三度半，以内之星在赤道北者，皆可以过赤道南。在赤道南者亦可以过赤道，北则恒星循黄道东行，而非黄道之西移，明矣。新法厯书载西人第谷以前，恒星东行之数，或云百岁而行一度，或云七十馀年而行一度。或云六十馀年而行一度，随时修改，与古累改歳差之意同。迨第谷定恒星每岁东行五十一秒，约七十年有馀而行一度，而元郭守敬所定亦为近之，至今一百四十馀年，验之于天，虽无差忒，但星行微渺，必厯多年，其差乃见。然则第谷所定之数，亦未可泥为定凖，惟随时测验，依天行以推其数可也。

御制厯象考成。上编论测恒星。

恒星东行既依黄道，则测定一年之黄道经纬度，而逐年之黄道经纬度皆视此矣。然欲测诸恒星必以一星作距，而欲测黄道经纬度，必以赤道经纬度为宗。盖诸曜随天左旋，惟赤极不动。其经纬既与黄道相当，又与地平相应，时刻之早晚于是乎纪，太阳之躔次于是乎辨，非赤道则黄道无从而稽也。其法择恒星之大者，测其方中时刻及正午高弧，乃以本时太阳赤道经度与太阳距午正赤道经度相加，即星之赤道经度。又以正午高弧与赤道高度相减，即星之赤道纬度既得赤道经纬度，则用弧三角法推得黄道经纬度。既得一星之黄赤经纬度，即以此一星作距。或用黄道赤道诸仪，测其相距之经纬，或用地平象限诸仪，测其偏度及高弧，而诸星之黄赤经纬度皆可得矣。要之，测恒星之法，先测一星为凖，而此星经度，必取定于太阳，倘于时刻差四分，则于天行差一度，故须参互考验，方得密合，或用太阴及太白比测者，然皆有视差，不如用太阳之确凖也。

御制厯象考成上编论恒星出入地平，恒星随宗动天东出，西入旋转有常。因节气有冬夏昼夜有永短，人居有南北，故所见恒星出入地平之时刻，因时各异，随地不同也。夫逐时皆有出入地平之恒星逐星皆有出入地平之时刻，可以测候而得，亦可以推步而知。其法用本地北极高度及本星赤道经纬度，求得本星与赤道同出入地平之度，乃与本时太阳赤道经度相减，即得本星出入地平之时刻也。

御制厯象考成上编论弧三角形。

弧三角形者，球面、弧线所成也。古厯家有黄赤相凖之率，大约就浑仪度之，仅得大概，未能形诸算术。惟元郭守敬以弧矢命算黄赤相求，始有定率，视古为密，但其法用三乘方取数甚难。自西人利玛窦汤若望等翻译厯书，始有曲线三角形之法。三，弧度相交成三角形，其三弧三角各有相应之八线，弧与弧相交，即线与线相遇，而勾股比例生焉，于是乎有黄道可以知赤道有赤道可以知黄道有经可以知纬有纬可以知经厯象之法至此而备勾股之用至此而极矣。

正弧三角形必有一直角者，盖因南北二极为赤道之纽，皆距赤道九十度，故凡过南北二极经圈与赤道交所成之角俱为直角，其相当之弧皆九十度。又凡有一圈即有两极，其过两极经圈与本圈相交，亦必为直角。其所成三角形，必皆为正弧三角形。夫正弧三角形所知之三件弧角相对者，用弧角之八线所成勾股为比例，而弧角不相对者，则用次形，盖以弧角之八线所成勾股，比例不生于本形而生于次形而次形者乃以本形与象限相减之馀度所成，故用本形之馀弦馀切即用次形之正弦正切也。其法可易弧为角，易角为弧若斜弧三角形可易大形为小形，易大边为小边易钝角成鋭角。边与角虽不相对，可易为相对。且知三角即可以求边，其理实一以贯之也。

弧三角之有斜弧形，犹直线，三角之有鋭钝形也。但直线三角之鋭钝，形惟二种一种，三角俱鋭一种一钝，两鋭而斜弧形则不然，或三角俱鋭，或三角俱钝，或两鋭一钝，或两钝一鋭其三边或俱大，过于九十度，或俱小不及九十度，或两大一小，或两小一大参错成形，为类甚多。而新法厯书所载推算之法，益复繁杂难稽。盖三角三边各有八线，但线与线之比例相当，即可相求。是故或同步一星，或同推一数，而所用之法彼此互异，遂使学者莫知所从。兹约以三法求之，无论角之鋭钝，边之大小，并视先所知之三件为断。其一先知之三件有相对之边角，又有对所求之边角，则用边角比例法。其一先知之三件，有相对之边角，而无对所求之边角或求角而无对角之边，或求边而无对边之角则用垂弧法。其一先知之三件，无相对之边角或三边求角，或有两边一角，而角在所知两边之间，或三角求边，或有两角一边，而边在所知两角之间，则用总较法。明此三法，则斜弧之用已备。而七政之升降出没，经纬之纵横交加，无不可推测而知矣。

臣等谨按：考成上编首论仪象，次即详弧三角形，备列纲领条目图说及相求比例总较之法，诚以日躔、月离、日食、月食、五星、恒星，皆藉是以推步焉。兹録总论及分论正、斜形各一篇，其神明简易之妙用可概见云。

御制厯象考成后编论岁实日行天一周为岁周岁之日，分为岁实。古法日行一度，故周天为三百六十五度四分度之一，岁实为三百六十五日四分日之一。尧典曰：朞三百有六旬有六日」。杜预谓举全数而言，则有六日，其实五日四分日之一是也。汉末刘洪始觉冬至后天以为岁实太强，减岁馀分二千五百为二千四百六十二晋虞喜，宋何承天、祖冲之谓岁当有差，乃损岁馀以益天周岁差之法，由斯而立。元郭守敬取刘宋大明戊寅以来相距之积日时刻，求得岁实为三百六十五日二千四百二十五分，比四分日之一减七十五分，而天周即为三百六十五度二千五百七十五分矣。西法周天三百六十度，第谷定岁实为三百六十五日，五时三刻三分四十五秒，以周日一万分通之，得三百六十五日二四二一八七五，较之郭守敬又减万分之三。有竒以除周天三百六十度，得每日平行五十九分零八秒一十九微四十九纎五十一忽三十九芒，即十分度之九分八五六四七三六五八。岁差则谓恒星每年东行五十一秒，不特天自为天岁，自为岁，而星又自为星，其理甚明。后西人柰端等屡测岁实，又谓第谷所减太过，酌定岁实为三百六十五日五时三刻三分五十七秒四十一，微三十八，纎二忽二十六芒五十六尘，以周日一万分通之，得三百六十五日二四二三三四四二○一四一五。比第谷所定多万分之一，有竒以除周天三百六十度，得每日平行五十九分零八秒一十九微四十四纎四十三忽二十二芒零三尘，即十分度之九分八五六四六九六九三五一二八二二五。比第谷所定少五纎有竒，每年少三十微有竒。盖岁实之分数增，则日行之分数减。据今表推雍正元年癸帽天正冬至比第谷，旧表迟二刻，日躔平行，根比旧表少一分一十四秒，而第谷去今一百四十馀年。以数计之，其差恰合。是亦取前后两冬至相距之积日时刻而均分之，非意为增损也。

御制厯象考成后编论黄赤距纬，黄赤距纬，古今所测不同。自汉以来，皆谓黄道出入赤道南北二十四度，元郭守敬所测为二十三度九十分三十秒，以周天三百六十度每度六十分约之，得二十三度三十三分三十二秒，第谷所测为二十三度三十一分三十秒，康熙五十二年。

皇祖圣祖仁皇帝命和硕庄、亲王等率同儒臣于畅春园䝉养斋开局，测太阳高度得黄赤大距为二十三度二十九分三十秒。今监臣戴进贤等厯考西史，第谷所测，盖在明隆、万时，而汉时多禄亩所测为二十三度五十一分三十秒，较第谷为多。我朝顺治年间刻白尔改为二十三度三十分，后利酌理，噶西尼又改为二十三度二十九分，俱较第谷为少，其前后多少之故。或谓诸家所用蒙气差、地半径差之数各有不同，故所定距纬亦异。然合中西考之第谷以前，未知有蒙气差而多禄亩，与古为近。至郭守敬则与第谷相若而去，多禄亩则有十数分之多，康熙年间所用䝉气差地半径差，俱仍第谷之旧，与刻白尔噶西尼等所用之数不同，而所测大距又相去不逺。由此观之，则黄、赤距度，古今实有不同，而非由于所用差数之异，所当随时考测，以合天也。

御制厯象考成后编论地半径差。噶西尼等谓：日天半径甚逺，无地半径差，而测量所系，只在秒微，又有䝉气杂乎其内最为难定。因思日月星之在天，惟恒星无地半径差，若以日与恒星相较，可得其凖，而日星不能两见，是测日不如测五星也。土木二星在日上，去地尤逺，地半径差愈微。金、水二星虽有时在日下，而其行绕日逼近日光，均为难测。惟火星绕日而亦绕地，能与太阳冲，故夜半时火星正当子午线于南北两处测之，同与一恒星相较。其距恒星若相等，则是无地半径差。若相距不等，即为有地半径差，其不等之数即两处地半径差之较。且火星冲太阳时，其距地较太阳为近，则太阳地半径差必更小于火星地半径差也。噶西尼用此法推得火星在地平上最大地半径差为二十五秒，比例得太阳在中距时地平上最大地半径差为一十秒，验之交食果为吻合，近日西法并宗其说。今用所定地半径差求地半径与日天半径之比例，中距为一与二万零六百二十六，最高为一与二万零九百七十五，最卑为一与二万零二百七十七，以求地平上最大之地半径差最高为九秒五十微，最卑为一十秒一十㣲。

御制厯象考成后编论日月实径，从来算家谓日月之在天，其实径原为一定之数，而视径之大小，则因距地有逺近而时时不同。然所谓实径者，仍以视径之大小距地之逺近比例而得。今日月本天心之距地心数，皆与旧不同，则日月距地之逺近亦因之而各异。且视径之大小，古今所测相差，惟在分秒之间，在器只争毫厘而在数已差千百，则实径究亦未有一定之数也。西法以日实径为地径之五倍有馀，中距日天半径与地半径之比例为一与一千一百四十二，月实径为地径百分之二十七强，中距朔望时月天半径与地半径之比例，为一与五十六又百分之七十二。上编仍之，以推最高日天半径与地半径之比例为一与一千一百六十二，最卑日天半径与地半径之比例，为一与一千一百二十一最高。朔望时月天半径与地半径之比例，为一与五十八又百分之一十六。最卑、朔望时月天半径与地半径之比例，为一与五十四又百分之八十四。今监臣戴进贤等据西人近年所测日天半径与地半径之比例最高，为一与二万零九百七十五，中距为一与二万零六百二十六，最卑为一与二万零二百七十七。月天半径与地半径之比例最高为一与六十三又百分之七十七中距为一与五十九又百分之七十八，最卑为一与五十五又百分之七十九。又用逺镜仪西人黙爵所制，以逺镜加衡为窥管。测得日视径最高为三十一分四十秒，中距为三十二分一十二秒，最卑为三十二分四十五秒，月视径最高为二十九分二十三秒，中距为三十一分二十一秒，最卑为三十三分三十六秒。用此数推算日实径为地径之九十六倍又十分之六，月实径为地径百分之二十七，小馀二六强。夫月实径与旧大致相符，而日实径差至十九倍者。盖今所测日距地数比旧原大十八倍馀，则日实径比旧大十九倍止为大十八分之一。故今之日视径亦比旧大十八分之一。是则视径之大小固各得之实测，要亦合诸推算，以成一家之言。至于日体纯阳，其光恒溢于常径之外。新法算书谓周围皆大一分，今说谓大一十五秒，故推日食之法必于并径内减去太阳光分一十五秒，馀与视纬相较，方为受食之分，而日之本径则仍带光分算，其理固应尔也。

御制厯象考成后编论日月影半径及影差日月两地半径差相并，即与日半径影半径相并之数等，而日月地半径差及日半径，皆推交食所必用之数，且又皆由距地之高卑逺近而生，故近日西法皆不用另求影半差。惟以日、月两地半径差相加，内减去日半径馀，即为实影半径以影差已在其中也。此外又有视影之说，盖以地上有蒙气差能映小为大，则太阳实径必小，于视径实径小则影大矣。又月食时日在地下，䝉气转蔽日光，则地影视径必尤大于实径。计其所大之分，约为太阴地平径差六十九分之一，故又以此为影差，与实影半径相加为视影半径，则所谓影差者，名虽同而义实异也。总之算家立说，古今不必相同，然测验皆期于合天，而推步必归于有据。旧说谓太阳有光分能侵地，影使小今说谓地周有䝉气能障地影使大，此亦极不同之致矣。然最大影半径旧为四十六分四十八秒，今为四十六分五十一秒，相差不过三秒，最小影半径旧为四十二分三十八秒，今为三十八分二十八秒，相差四分有馀。盖地影之大小，固由于太阳距地之逺近及太阴距地之高卑，而太阴所关为尤重，最卑太阴距地。今昔相差，不过百分地半径之九十五，最高太阴距地则相差至百分地半径之五百六十一。夫月之距地，既因两心差而不同，则月径与影径遂亦因之而各异，要皆据一时之所测，设法推步以求合，而非为臆说也。

御制厯象考成后编，论清蒙气差，监臣戴进贤等厯考西史。第谷所定地平，上䝉气差，其门人刻白尔，即谓失之稍大，而犹未定有确数，至噶西尼始从而改正焉。其说谓䝉气绕乎地球之周，日、月星照乎蒙气之外，人在地面为䝉气所映，必能视之使高，而日月星之光线入乎䝉气之中，必反折之使下。故光线与视线在蒙气之内则合而为一，䝉气之外则岐而为二。此二线所交之角，即为䝉气差角第谷已悟其理，然犹未有算术。噶西尼反覆精求，谓视线与光线所岐虽有不同，而相合则有定处，自地心过所合处作线，抵圜周，则此线即为蒙气之割线。视线与割线成一角，光线与割线亦成一角。二角相减，即得䝉气差角。爰在北极出地高四十四度处，屡加精测，得地平上最大差为三十二分一十九秒，䝉气之厚为地半径千万分之六千零九十五，视线、角与光线角正弦之比例，常如一千万与一千万零二千八百四十一用。是以推逐度之蒙气差至八十九度，尚有一秒。验诸实测，较第谷为密，近日西法并宗之。

御制厯象考成后编，论太阳行度，钦若授时以日躔为首务，盖日出而为昼，入而为夜，与月㑹而为朔行，天一周而为岁岁月日，皆于是乎纪。故尧典以宾饯永短定治厯之大经，万世莫能易也。其推步之法，三代以上不可考。汉、晋诸家，皆以日行一度三百六十五日四分日之一而一周天。自北齐张子信始觉有入气之差而立损益之率。隋刘焯立盈缩躔度与四序为升降，厥法加详。至元郭守敬乃分盈缩、初末四限，较前代为密。西法自多禄亩以至第谷，则立为本天高卑、本轮均轮诸说用三角形推算。近世西人刻白尔噶西尼等，更相推考，又以本天为撱圆，均分其面积为平行度，与旧法迥殊。然以求盈缩之数，则界乎本轮、均轮所得数之间，盖其法之巧合。虽若与第谷不同，而其理则犹是本天高卑之说也。至若岁实之转增距纬，与两心差之渐近地半径差，䝉气差之互为大小，则亦由于积候损益旧数，以成一家之言，今用其法。

太阳之行有盈缩，由于本天有高卑，春分至秋分行最高半周，故行缩而厯日多。秋分至春分行最卑半周，故行盈而厯日少。其说一为不同心，天一为本轮而不同心，天之两心差即本轮之半径，故二者名虽异而理则同也。第谷用本轮以推盈、缩差，惟中距与实测合，最高前后则失之小，最卑前后则失之大。又最高之高于本天半径最卑之卑于本天半径者，非两心差之全数而止。及其半，故又用均轮以消息乎其间。而后高卑之数，盈缩之行，与当时实测相合，然天行不能无差。元郭守敬定盈缩之最大差为二度，四○一四以周天三百六十度每度六十分约之，得二度二十二分。第谷所定之最大差为二度零三分一十一秒，刻白尔以来屡加精测盈缩之最大差止有一度五十六分一十二秒。又以推逐度之盈缩差最高前后本轮固失之小矣。均轮又失之大最卑前后，本轮固失之大矣。均轮又失之小，乃设本天为撱圆均分撱圆面积为逐日平行之度。则高卑之理既与旧说无异，而高卑前后盈缩之行乃俱与今测相符。凡平圆面积自中心分之，其所分面积之度，即其心角之度，以圜界为心角之规，而半径俱相等也。若撱圆有大小，径角与积已不相应矣。况实行之角平行之积，皆不以本天心为心，而以地心为心。太阳距地心线自最卑以渐而长逐度俱不等，又何以知积之为度而与角相较乎？然以大小径之中率作平圆，其面积与撱圆等将平圆面积逐度递析之，则度分秒皆可按积。而稽撱圆之全积，既与平圆全积等，则其递析之面积亦必相等。故分撱圆面积虽非度亦可以度命之而度分秒，亦可按积而稽也。

御制厯象考成后编论太阴行度。

上编言太阴行度有九，其实均轮行自行度，次轮次、均轮皆行，月距日倍度，则行度止六而已。自西人刻白尔创为撱圆之法，专主不同，心天而不同心。天之两心差及太阴诸行，又皆以日行与日天为消息，计其行度一平，均用日引度。二平均最高，均用日距月最高之倍度，三平均正交均用日距正交之倍度，初均仍用自行度二均，仍用月距日倍度三均末均用月距日兼月高距日高度，交角用日距正交，兼月距日度皆实测之数，而要不离乎本天高卑中距四限与朔、望两弦前后参互比较而得之。

太阴之行有迟疾，由于本天有高卑，其说一为不同心，天一为本轮与太阳同，自刻白尔创为撱圆之法，专主不同，心天而不同心，天之两心差及最高行又随时不同，惟日当月天中距时最大迟疾差为四度五十七分五十七秒，两心差为四三三一九，○倍差即为八十六万有竒，与旧数相去不逺。若日当月天最高，或当月天最卑则最大迟疾差为七度三十九分三十三秒，两心差为六六七八二，○日厯月天高卑而后两心差渐小，中距而后两心差渐大，日距月天高卑前后四十五度，两心差适中。又日当月天高卑时最高之行常速，至高卑后四十五度而止。日当月天中距时最高之行常迟，至中距后四十五度而止。与日月之盈缩迟疾相似，而周转之数倍之。是则太阴本天之心，必更有一均轮以消息乎？两心差及最高行之数，因以地心为心，以两心差最大最小两数相加折半得五，五○五○五为最高本轮半径相减折半，得一一七三一五为最高均轮半径。均轮心循本轮周右旋行最高平行度，本天心循均轮周右旋行日距月最高之倍度，用切线分外角法，求得地心之角为最高均数即最高行之差。求得两心相距之边为本天心距地数，即本时之两心差也。而其测量诸均数，则必在高卑中距或高卑中距之间，其数乃整齐而易。辨要之测得高卑中距之差，则两心差之数已见，而求得两心差之数，则高卑中距之差悉合矣。

太阴初均数生于两心差两心差不等，则均数亦不等，然于平行无与也。自刻白尔以本天为撱圆，以平行为面积，则两心差不等，而撱圆之面积与太阴之平行，亦因之不等。盖两心差大者小径之数小，而面，积亦小。两心差小者小径之数，大而面，积亦大。故分撱圆之度数虽同，而度之面积各异，非先求其面积，无以求度数也。今取两心差之，大中小三数，求其小径及面积，以定平行而后均，数可得而推也。

旧法用本轮、均轮推初均数，日躔、月离数虽不同，而其法则一也。自刻白尔，以平行为撱圆面积，求实行噶西尼等立借角求角之法，亦极补凑之妙矣。然日、天两心差为本天半径千万分之一十六万馀，所差之最大者不过百分秒之六十六，月天两心差最大者为本天半径千万分之六十六万馀。若仍用日躔之法，则其差之最大者即至四十秒，虽于数不为疏，而于法则犹未密。故又立用两三角形之法。先以半径为一边，两心差为一边，太阴平引与半周相减，不及半周者与半周相减，过半周者减半周。为所夹之角，求得对两心差之小角与前所夹之角相加复为所夹之角，仍用半径与两心差为两边，求得对半径之大角为半圆引数。次以大半径为一率，小半径为二率，平圆引数之正切线为三率，求得四率为正切线，得实引与平引相减，馀为初均数。依日躔借积求积法，细推之，其差之最大者不过一十秒，较借角求角之法为密。云旧法推步，朔望惟用初均数刻白尔以来奈端等屡加测验，谓日在最卑后则太阴平行常迟，最高平行正交平行常速。日在最高后太阴平行常速，最高平行正交平行常迟。因定日在中距太阴平行差一十一分五十秒，最高平行差一十九分五十六秒，正交平行差九分三十秒。其间逐度之差，皆以太阳中距之均数与太阳逐度之均数为比例，名曰一平均。盖太阳平行，自子正随天左旋复至子正，是为一日月距日一日顺行一十二度馀，最高一日顺行六分馀，正交一日退行三分，馀皆随太阳平行为行度，故为平行。而太阴二均生于月距日之倍度最高均生于日距月最高之倍度正交均生于日距正交之倍度，皆以太阳实行立算。太阳实行有盈缩，则诸行亦随之有进退。此因太阳右旋之盈缩而差者也。又太阳右旋加多一度，则左旋之时刻差早一度，诸行亦随之而差早一度之行，太阳右旋减少一度，则左旋之时刻差迟一度，诸行亦随之而差迟一度之行，此因太阳随天左旋之迟早而差者也。由是二者，故有一平均之法，然太阴一平均则惟因左旋时差之故，最高平，均与正交正，均则兼左旋右旋两差之故焉。以太阴一平均言之，太阴二均生于月距日之倍度，而月距日之度乃置太阴实行减太阳实行而得之。太阳右旋之度差而多，则月距日之度反差而少。太阳右旋之度差而少，则月距日之度反差而多是月距日之行不随太阳右旋之盈缩为进退也。惟是太阳左旋时刻差一度，倍月距日已差二度，太阴又随之差二度，则平行即差四度。时差行差早者应减差迟者应加。然差早一度者，太阳未至子正一度应加一度。时差行差迟一度者，太阳已过子正一度，应减一度时，差行是差三倍时差行也。故以一小时六十分为一率。一小时月距日平行一千八百二十八秒六二为二率，太阳中距均数一度五十六分一十三秒变时每度变为四分，十五分变为一分，十五秒变为一秒。得七分四十五秒为三率，求得四率二百三十六秒二○用三因之，得七百零八秒六，○收为一十一分四十九秒，为太阴。一平均太阳均数，加者为减，减者为加，是为太阳实行至子正时之太阴平行度也。以最高平均与正交平均言之最高，均生于日距月最高之倍度正交均生于日距正交之倍度，而日距月最高与日距正交之度，乃置太阳实行，减月最高与正交而得之太阳右旋之度加而多，则相距之度亦多。太阳右旋之度减而少，则相距之度亦少，是最高与正交之行固随太阳右旋之盈缩为进退也。又太阳左旋之时刻差一度，日距月最高与日距正交之倍度已差二度，最高与正交又随之差，二度则最高与正交即差四度时差行差早者应加差迟者应减。且最高均与正交均，皆随太阳行相距之倍度。太阳实行差一度，则最高与正交亦随之。差一度之行大阳又加倍差一度，则最高与正交又随之差半度之行，是右旋左旋之差，皆为一倍有半，而未至子正应加已过子正应减之时，差行又其在外者也。太阴在本天，高卑虽无初均数，而太阳在本天高卑前后犹有一平均。若太阳亦在本天，高卑则并无一平均矣。奈端以来，又屡加精测，谓日天最高与月天最高同度，或相距一百八十度，日月又同在最高卑，则实行与平行合为一线，无诸均数。太阳虽在最高卑，而在月天高卑前后，则平行常迟，至高卑后四十五度而止在月天中距前后，则平行常速，至中距后四十五度而止。然积迟积速之多，正在四十五度，而太阳在最高与在最卑，其差又有不同。因定太阳在最高，距月天高卑中距后四十五度之最大差为三分三十四秒，太阳在最卑距月天高卑中距后四十五度之最大差为三分五十六秒，高卑后为减，中距后为加。其间日距月最高逐度之差，皆以半径与日距月最高倍度之正弦为比例。其太阳距地逐度之差，又以太阳高卑距地之立方较与本日太阳距地之立方较为比例，名曰二平均。盖太阴本天心循最高，均轮周行，日距月最高之倍度日在月天高卑，则两心差大，而撱圆之面积小，故平行迟也。日在月天中距，则两心差小，而撱圆之面积大，故平行速也。日距月天高卑中距四十五度，则两心差与撱圆之面积，皆为适中太阴平行，原以适中之数立算，故其平行无迟速也。

太阳在两交后，平行稍迟，在大距后平行稍速，其最大差为四十七秒，名曰三平均。盖白极在正，交均轮周，旧法谓行月距日之倍度，奈端以来，谓行日距正交之倍度，故惟太阳在两交与大距则白极与均轮心参直，其平行无加减。太阳在两交后，则白极在均轮心之东，而白道经圈之过黄道者，亦差而东。其黄道旧㸃所当白道度，即差而西，故平行应减而迟也。太阳在大距后，则白极在均轮心之西，而白道经圈之过黄道者，亦差而西。其黄道旧㸃所当白道度即差而东，故平行应加而速也。此其所差止在数十秒之间，虽不易得之仰观，而实可稽之仪象。

旧法推太阴两弦行度，止有初均二均，两弦前后始有三均，初均之最大者四度五十八分，馀二均之最大者二度二十七分，馀三均之最大者四十二分馀，计两弦前后最大差，共八度弱。噶西尼以来，屡加测验，谓两弦太阴行度止有初均三均，而三均又不尽关乎两弦之故。二均之最大者，不在两弦而在朔、弦、弦、望之间，其初均之最大者七度三十九分三十四秒，二均之最大者三十七分一十一秒。计两弦前后最大差共八度强，则是今之二均固兼旧法二均三均之义，而其数则又不同。盖太阴去地甚近，其行最著。又二十七日有竒而一周天，一月之中，备日行四时之轨，至为参错不齐。古人惟重交食，故朔望而外，置之弗论。西人第谷始创二三均之法，其门人精测不已，又数十年然后改定，则其数必实有所据，而非为臆说也。其法定日在最高朔望前后四十五度，最大差为三十三分一十四秒，日在最卑朔望前后四十五度，最大差为三十七分一十一秒。朔望后为加，两弦后为减。其间月距日逐度之二均，则以半径与月距日倍度之正弦为比例。其太阳距最高逐度二均之差，又以日天高卑距地之立方较与本日太阳距地之立方较为比例，与二平均同。

旧法推步朔、望两弦皆无三均数，而三均之最大者，每在朔、弦、弦、望之间，故知三均之差，生于月距日之倍度。自噶西尼以来，以朔、弦、弦、望间之最大差属之二均，而月距日九十度与月高距日高九十度，其差正等。月距日四十五度与月高距日高四十五度，其差又等，则是三均之差不专系乎月距日之故也。于是取月距日与月高距日高之共为九十度时测之，其差与月距日或月高距日高之独为九十度者等。又取月距日与月高距日高之共为四十五度时测之，其差与月距日或月高距日高之独为四十五度者等。乃知三均之差生于月距日与月高距日高之总度半周内为加，半周外为减。其九十度与二百七十度之最大差为二分二十五秒。其间逐度之差，以半径与总度之正弦为比例，则三均之法定矣。然必日月最高同度或日月同度，两者止有一相距之差，则止有三均。若月天最高与日天最高有距度，日月又有距度，则三均之外，朔后又差而迟，望后又差而速。及至月高距日高九十度，月距日亦九十度时无三均，而其差反最大。故知三均之外又有末均，乃将月高距日高九十度分为九限，各于月距日九十度时测之，两高相距九十度，其差三分，渐近则渐小。其间月距日逐度、末均之差，皆以半径与月距日之正弦为比例，朔后为减，望后为加。而后推太阴经度之法，纎悉具备。今考其所测，其数之小者，只在秒、㣲之间，其时又数十年而不一遇，然其用意细密，学者茍通乎此，何患推测之无术欤？

御制厯象考成后编论交均及黄白大距正交之行有迟疾，由于黄白大距有大小。旧法定朔望时交角最小为四度五十八分三十秒，两弦时交角最大为五度一十七分三十秒，两距度之较为一十九分，交均之最大者为一度四十六分零八秒。自奈端、噶西尼以来，谓日在两交时交角最大为五度一十七分二十秒，日距交九十度时交角最小为四度五十九分三十五秒，两距度之较为一十七分四十五秒，朔望而后交角又有加分，因日距交与月距日之渐逺，以渐而大。至日距交九十度，月距日亦九十度时加二分四十三秒，交均之最大者为一度二十九分四十二秒，皆与旧法不同。然厯家测黄白二距必于月距交九十度时。夫月距交九十度，而值朔望则日距交亦九十度，是今之谓日距交九十度交角小，犹与朔望交角小之义同也。月距交九十度而值两弦，则日必在两交。是今之谓日在两交交角大，犹与两弦交角大之义同也。惟日在两交而又值朔望，则交角关乎食分之浅深，日距交九十度而又值两弦，则加分关乎距纬之逺近，是必验诸实测古今确有不同之处，参稽经纬，以成一家之言，而非轻为改定也。至其推算之法，以五十九为边总，五十六为边较，求得黄极之角为交均，以日距交月距日之馀弦，比例得加分与最小之交角相加为大距，亦与旧法不同。取其易于入算，故近日西士皆从之。

皇朝文献通考》卷二百五十七