希伯斯与无理数（公元前500年）

希伯斯与无理数（公元前500年）

毕达哥拉斯发现了著名的“勾股定理”，据说，毕达哥拉斯为了庆贺自己的业绩，杀了一百头牛，也正是由于勾股定理的发现，导致无理数的发现，并由此产生了第一次数学危机。

希伯斯（希帕索斯，Hippasus）是大约公元前500年的一位希腊哲学家。作为毕达哥拉斯的门徒，他发现平方根具有一些很有趣的性质。

伟大的数学家毕达哥拉斯认为：世界上只存在整数和分数，除此以外，没有别的什么数了.可是不久就出现了一个问题：当一个正方形的边长是1的时候，对角线的长m等于多少？是整数呢，还是分数？毕达哥拉斯和他的门徒费了九牛二虎之力，也不知道这个m究竟是什么数．世界上除了整数和分数以外还有没有别的数？这个问题引起了学派成员希伯斯的兴趣，他花费了很多的时间去钻研，最终希伯斯断言：m既不是整数也不是分数，也就是勾长或股长与弦长是不可通约的。

从希伯斯的发现中，人们知道了除了整数和分数以外，还存在着一种新数，给新发现的数起个什么名字呢？当时人们觉得，整数和分数是容易理解的，就把整数和分数合称“有理数”，而希伯斯发现的这种新数不好理解，就取名为“无理数”。希伯斯使用了“几何法”证明了无理数的存在，而今天我们可以多数使用代数方法证明。不可通约性的发现引起第一次数学危机。这个发现对古希腊的数学观点有极大的冲击。这表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示，反之数却可以由几何量表示出来。整数的尊崇地位受到挑战，于是几何学开始在希腊数学中占有特殊地位。

同时这也反映出，直觉和经验不一定靠得住，而推理证明才是可靠的。从此希腊人开始由“自明的”公理出发，经过演绎推理，并由此建立几何学体系，这不能不说是数学思想上一次巨大革命，这也是第一次数学危机的自然产物。

回顾以前的各种数学，无非都是“算”，也就是提供算法。即使在古希腊，数学也是从实际出发，应用到实际问题中去的。比如泰勒斯预测日食，利用影子距离计算金字塔高度，测量船只离岸距离等等，都是属于计算技术范围的。至于埃及、巴比伦、中国、印度等国的数学，并没有经历过这样的危机和革命，所以也就一直停留在“算学”阶段。而希腊数学则走向了完全不同的道路，形成了欧几里得《几何原本》的公理体系与亚里士多德的逻辑体系。

自此以后希腊人把几何看成了全部数学的基础，把数的研究隶属于形的研究，割裂了它们之间的密切关系。这样做的最大不幸是放弃了对无理数本身的研究，使算术和代数的发展受到很大的限制，基本理论十分薄弱。这种畸形发展的局面在欧洲持续了2000多年。

无理数的发现，引起了第一次数学危机。对于全部依靠整数的毕氏哲学，这是一次致命的打击。无理数看来与常识似乎相矛盾。在几何上的对应情况同样也是令人惊讶的，因为与直观相反，存在不可通约的线段，即没有公共的量度单位的线段。由于毕氏学派关于比例定义假定了任何两个同类量是可通约的，所以毕氏学派比例理论中的所有命题都局限在可通约的量上，这样，他们的关于相似形的一般理论也失效了。

“逻辑上的矛盾”是如此之大，以致于有一段时间，所谓的“毕达哥拉斯同盟”规定了一条纪律：谁都不准泄露存在根2（即无理数）的秘密。但是人们很快发现不可通约性并不是罕见的现象。泰奥多勒斯指出，面积等于3、5、6、……17的正方形的边与单位正方形的边也不可通约，并对每一种情况都单独予以了证明。随着时间的推移，无理数的存在逐渐成为人所共知的事实。

根2很快就引起了数学思想的大革命。科学史上把这件事称为“第一次数学危机”。为了维护学派的威信，他们严密封锁希伯斯的发现，如果有人胆敢泄露出去，就处以极刑——活埋．然而真理是封锁不住的，尽管毕达哥拉斯学派规矩森严，希伯斯的发现还是被许多人知道了．他们追查泄密的人，追查的结果，发现泄密的不是别人，正是希伯斯本人！这还了得！希伯斯竟背叛老师，背叛自己的学派．毕达哥拉斯学派按着规矩，要活埋希伯斯．希伯斯听到风声逃跑了。希伯斯在国外流浪了好几年，由于思念家乡，他偷偷地返回希腊．在地中海的一条海船上，毕达哥拉斯的忠实门徒发现了希伯斯，他们残忍地将希伯斯扔进地中海．

一位很有才华的数学家就这样被奴隶专制制度的学阀们毁灭了。但是这倒真使人们看清了希帕索斯的思想价值。这次事件后，毕达哥拉斯学派的成员们确实发现不但等腰直角三角形的直角边无法去量准斜边，而且圆的直径也无法去量尽圆周，那个数字是3.14159265……更是永远也无法精确。慢慢地，他们感觉后悔了，后悔杀死希帕索斯的无理行动。他们渐渐明白了，明白了直觉并不是绝对可靠的，有的东西必须靠科学的证明；他们明白了，过去他们所认识的数字“0”，自然数等有理数之外，还有一些无限的不能循环的小数，这确实是一种新发现的数——应该叫它“无理数”。这个名字反映了数学的本来面貌，但也真实的记录了毕达哥拉斯学派中学阀的蛮横无理。